Questões sobre grandezas diretamente e inversamente proporcionais

Questões de vestibulares anteriores sobre grandezas diretamente e inversamente proporcionais com gabarito e resolvidas

1) Maria Eduarda recebeu R$ 500,00 de comissão pela venda de 600 peças. se tivesse vendido 780 peças teria recebido:

(A) R$ 570,00

(B) R$ 600,00

(C) R$ 626,00

(D) R$ 650,00

2) Renata quer dividir R$ 2.250,00 entre seus dois filhos e resolve fazer essa divisão de modo que a parte de cada um seja inversamente proporcional ao seu número de faltas na escola. Se um faltou 4 vezes e o outro, 6 vezes, aquele que faltou menos deverá receber:

(A) R$ 900,00

(B) R$ 950,00

(C) R$ 1.350,00

(D) R$ 1.500,00

3) Uma tinturaria paga a quantia de R$ 75,00 pelo consumo de energia elétrica, durante 6 dias, de um ferro elétrico que funciona 5 horas por dia. A despesa que esse ferro dará mensalmente, se funcionar 9 horas por dia,

(A) R$ 375,00.

(B) R$ 450,00.

(C) R$ 675,00.

(D) R$ 725,00.

4) Um carro, com velocidade média de 80 km/h, percorre a distância entre duas cidades em 5 horas e 15 minutos. Se a sua velocidade média fosse de 90 km/h, o tempo gasto para percorrer a mesma distância seria de:

(A) 4 horas.

(B) 4 horas e 4 minutos.

(C) 4 horas e 25 minutos.

(D) 4 horas e 40 minutos.

5) Uma fazenda tem 45 cavalos e ração estocada para alimentá-los durante 1 mês. se forem vendidos 15 cavalos e a ração for reduzida à sua terça parte, os cavalos restantes poderão ser alimentados durante:

(A) 6 dias.

(B) 13 dias.

(C) 15 dias.

(D) 20 dias.

6)  Três funcionários arquivaram um total de 382 documentos em quantidades inversamente proporcionais às suas respectivas idades: 28, 32 e 36 anos. Nessas condições, é correto afirmar que o número de documentos arquivados pelo funcionário mais velho foi:

A) 112 B) 116 C) 120 D) 125

7) (BNB 2014 – FGV) Francisco não tinha herdeiros diretos e assim, no ano de 2003, no dia do seu aniversário, fez seu testamento. Nesse testamento declarava que o saldo total da caderneta de poupança que possuía deveria ser dividido entre seus três sobrinhos em partes proporcionais às idades que tivessem no dia de sua morte. No dia em que estava redigindo o testamento, seus sobrinhos tinham 12, 18 e 20 anos. Francisco morreu em 2013, curiosamente, no dia do seu aniversário e, nesse dia, sua caderneta de poupança tinha exatamente R$ 300.000,00. Feita a divisão de acordo com o testamento, o sobrinho mais jovem recebeu:

(A) R$ 72.000,00

(B) R$ 82.500,00

(C) R$ 94.000,00

(D) R$ 112.500,00

(E) R$ 120.000,00

8) (BNB 2014 – FGV) Três grandezas A, B e C, são tais que A é diretamente proporcional a B e inversamente proporcional ao quadrado de C. Quando B = 6 e C = 3 tem-se A = 1. Quando A = 3 e C = 2, o valor de B é:

(A) 1 (B) 2 (C) 4 (D) 6 (E) 8

9) (ENEM) A sombra de uma pessoa que tem 1,80 m de altura mede 60 cm. No mesmo momento, a seu lado, a sombra projetada de um poste mede 2,00 m. Se, mais tarde, a sombra do poste diminuiu 50cm, a sombra da pessoa passou a medir quanto?

a) 30 cm b) 45 cm c) 60 cm d) 90 cm

10) Na bandeira brasileira, o comprimento e a largura são proporcionais a 10 e 7. Carla quer fazer uma bandeira com 2 m de comprimento. Quantos metros deverá ter a largura?

a) 1,20 b) 1,30 c) 1,40 d) 1,50 e) 1,70

11) Uma máquina varredeira limpa uma área de 5.100 m² em 3 horas de trabalho. Nas mesmas condições, em quanto tempo limpará uma área de 11.900 m²?

12) (UFMG) Um lago tem superfície de área 12 km2 e 10 m de profundidade média. Sabe-se que o volume do lago é dado pelo produto da área de sua superfície por sua profundidade média. Certa substância está dissolvida nesse lago, de modo que cada metro cúbico de água contém 5 g da substância. Assim sendo, a quantidade total dessa substância, em gramas, no lago é de:

a) 

b) 

c) 

d)

13) (ENEM) Uma escola lançou uma campanha para seus alunos arrecadarem, durante 30 dias, alimentos não perecíveis para doar a uma comunidade carente da região. Vinte alunos aceitaram a tarefa e nos primeiros 10 dias trabalharam 3 horas diárias, arrecadando 12 kg de alimentos por dia. Animados com os resultados, 30 novos alunos somaram-se ao grupo, e passaram a trabalhar 4 horas por dia nos dias seguintes até o término da campanha. Admitindo-se que o ritmo de coleta tenha se mantido constante, a quantidade de alimentos arrecadados ao final do prazo estipulado seria de:

a) 920kg

b) 800kg

c) 720kg

d) 600kg

e) 570kg

14) (UFG) Para encher um recipiente de 5 litros, uma torneira gasta 12 se- gundos. Uma segunda torneira gasta 18 segundos para encher o mesmo recipiente. Nestas condições, para encher um tanque de 1000 litros, usando as duas torneiras ao mesmo tempo, serão necessários, em minutos:

a) 20

b) 24

c) 33

d) 50

e) 83

15) (Ibmec-SP) Estima-se que um grupo de 8 digitadores, trabalhando de forma homogênea, consiga digitar determinada obra literária em 15 dias. Qual seria o número de pessoas necessárias para digitar a obra, se o prazo for reduzido para 10 dias?

a) 8 b) 10 c) 12 d) 15

16) João possui três filhos: Ana, Thiago e Jorge. Ao falecer, João deixou R$ 1.500.000,00 de herança para seus filhos. O dinheiro deverá ser dividido de forma diretamente proporcional à idade de cada filho. Determine quanto cada um receberá, sabendo que Ana está com 17, Thiago com 20 e Jorge com 23 anos.

17) (Unicamp) Uma torneira enche um tanque em 12 minutos, enquanto uma segunda torneira gasta 18 minutos para encher o mesmo tanque. Com o tanque inicialmente vazio, abre-se a primeira torneira durante x minutos: ao fim desse tempo, fecha-se essa torneira e abre-se a segunda, a qual termina de encher o tanque em x+3 minutos. Calcule o tempo gasto para encher o tanque.

18) Um supermercado solicita mercadorias à fábrica de acordo com a quantidade de produtos do estoque que foi vendida. O entregador da fábrica transporta apenas 350 pacotes por vez, e as entregas são feitas de forma diretamente proporcional à quantidade de produtos que acabou no estoque. Sabendo que em um dia esgotaram-se 20 pacotes de um produto A, 35 pacotes de um produto B e 15 pacotes de um produto C, quantos produtos de cada o entregador deverá levar ao supermercado?

19) (ESAF) O TJ do Ceará verificou, em pesquisa de opinião pública, que, em cada 13 eleitores, 5 votam no PFL, 4 no PMDB, 3 no PT e 1 no PDS. Então, para 6.539.000 eleitores, a distribuição dos votos seria, respectivamente, para o PFL, PT, PDS e PMDB de:

a) 2.650.000; 1.590.000; 530.000; 2.120.000

b) 2.515.000; 2.012.000; 1.509.000; 503.000

c) 265.000; 159.000; 53.000; 212.000

d) 2.650.000; 2.120.000; 1.239.000; 530.000

e) 2.515.000; 1.509.000; 503.000; 2.012.000

20) (UERE) Segundo uma reportagem, a razão entre o número total de alunos matriculados em um curso e o número de alunos não concluintes desse curso, nessa ordem, é de 9 para 7. A reportagem ainda indica que são 140 os alunos concluintes desse curso. Com base na reportagem, pode-se afirmar, corretamente, que o número total de alunos matriculados nesse curso é:

(A) 180.
(B) 260.
(C) 490.
(D) 520.
(E) 630.

21) Se (3, x, 14, …) e (6, 8, y, …) forem grandezas diretamente proporcionais, então o valor de x + y é:

a) 20

b) 22

c) 24

d) 28

e) 32

22) (PUC) Se (2; 3; x; …) e (8; y; 4; …) forem duas sucessões de números diretamente proporcionais, então:

a) x = 1 e y = 6

b) x = 2 e y = 12

c) x = 1 e y = 12

d) x = 4 e y = 2

e) x = 8 e y = 12

23) (MACK) Dividindo-se 70 em partes proporcionais a 2, 3 e 5, a soma entre a menor e a maior parte é:

a) 35

b) 49

c) 56

d) 42

e) 28

24) (ESA) Repartindo 420 em três partes que são diretamente proporcionais aos números 3, 7 e 4, respectivamente, encontramos:

A) 90, 210 e 120

B) 90, 300 e 30

C) 60, 240 e 120

D) 60, 220 e 140

E) 90, 200 e 130

25) Três funcionários arquivaram um total de 382 processos em quantidades inversamente proporcionais às suas respectivas idades: 28, 32 e 36 anos. Nessas condições, é correto afirmar que o número de processos arquivados pelo funcionário mais velho foi:

A) 112

B) 175

C) 180

D) 125

E) 100

26) A soma de 3 números é 380. Calcule-os sabendo que são inversamente proporcionais aos números 2, 5 e 4.

a) 200, 110, 70

b) 80, 90 e 210

c) 200, 80 e 100

d) 210, 100 e 70

27) Numa loja de automóveis, os vendedores recebem comissões proporcionais ao número de carros que vendem. Se, em uma semana, o gerente pagou um total de R$ 8.280,00 a quatro funcionários que venderam 3, 6, 7 e 9 carros, respectivamente, quanto ganhou o que menos carros vendeu?

A) R$ 993,60
B) R$ 808,00
C) R$ 679,30
D) R$ 587,10
E) R$ 500,40

28) Os números x, y e 32 são diretamente proporcionais aos números 40, 72, 128. Determine os números x e y.

29) (ENEM-2013) Uma indústria tem um reservatório de água com capacidade para 900 m³. Quando há necessidade de limpeza do reservatório, toda a água precisa ser escoada. O escoamento da água é feito por seis ralos, e dura 6 horas quando o reservatório está cheio. Esta indústria construirá um novo reservatório, com capacidade de 500 m³, cujo escoamento da água deverá ser realizado em 4 horas, quando o reservatório estiver cheio. Os ralos utilizados no novo reservatório deverão ser idênticos aos do já existente.

A quantidade de ralos do novo reservatório deverá ser igual a:

a) 2.

b) 4.

c) 5.

d) 8.

e) 9.

30) Dividir 380 em partes inversamente proporcionais a 0,4; 3,2 e 6,4

31) Três amigos formaram uma sociedade. O primeiro entrou com 60.000 reais, o segundo, com 75.000 reais e o terceiro, com 45.000. No balanço anual houve um lucro de 30.000 reais. Quanto coube do lucro para cada sócio?

32) Repartir uma herança de 460.000 reais entre três pessoas na razão direta do número de filhos e na razão inversa das idades de cada uma delas. As três pessoas têm, respectivamente, 2, 4 e 5 filhos e as idades respectivas são 24, 32 e 45 anos.

33) Divida 102 em partes inversamente proporcionais a 6, 8 e 20.

34) Dividir 560 em partes diretamente proporcionais a 3, 6 e 7 e inversamente proporcionais a 5, 4 e 2.

35) Três trabalhadores devem dividir R$ 1.200,00 referentes ao pagamento por um serviço realizado. Eles trabalharam 2, 3 e 5 dias respectivamente e devem receber uma quantia diretamente proporcional ao número de dias trabalhados. Quanto deverá receber cada um?

36) Um pai distribuiu 546 bolas de gude aos seus 2 filhos em partes diretamente proporcionais à média final na disciplina de matemática e em partes inversamente proporcionais ao número de faltas em todo o ano letivo. O primeiro filho teve média final 9 e faltou 8 vezes, enquanto que o segundo filho teve média final 8 e faltou 3 vezes. Quantas bolas de gude eles ganharam, respectivamente?

A) 162 e 384 B) 158 e 382 C) 160 e 386 D) 168 e 388

37) Paulo, João e Marcelo, os três jogadores mais disciplinados de um campeonato de futebol amador irão receber um prêmio de R$ 3.340,00 rateados em partes inversamente proporcionais ao número de faltas cometidas em todo o campeonato. Os três jogadores cometeram 5, 7 e 11 faltas, respectivamente. Logo Marcelo recebeu:

a) R$ 600,00 b) R$ 700,00 c) R$ 800,00 d) R$ 900,00

38) Divida o número 662 em parcelas inversamente proporcionais a 14, 27 e 15.

39) Em uma farmácia, o preço de um xarope é sempre proporcional à quantidade contida no frasco. Os frascos de 50 ml e de 200 ml desse medicamento custam, respectivamente, R$ 25,00 e R$ 80,00. Nessa farmácia, o frasco do xarope com 300 ml custa

a) R$ 135,00.

b) R$ 100,00.

c) R$ 115,00.

d) R$ 120,00.

40) Os irmãos Jonas, Pierre e Saulo, que têm, respectivamente, 30, 20 e 18 anos de idade, herdaram de seu pai a quantia de R$ 5 milhões. O testamento prevê que essa quantia deverá ser dividida entre os irmãos em partes inversamente proporcionais às suas idades.

Nessa situação hipotética, Saulo receberá:

a) R$ 1.200.000,00.

b) R$ 1.500.000,00.

c) R$ 1.800.000, 00.

d) R$ 2.000.000,00.

41) (FEPESE-2018) Uma empresa irá dividir um bônus de R$ 100.000 entre três funcionários, de maneira diretamente proporcional a sua idade.

Sabendo que as idades dos funcionários são 30, 28 e 22, podemos afirmar que a menor quantia que um funcionário receberá é:

a) Menor que 20.000.

b) Maior que 20.000 e menor que 25.000.

c) Maior que 25.000 e menor que 30.000.

d) Maior que 30.000 e menor que 35.000.

e) Maior que 35.000.

42) (VUNESP-2018) Carlos, Ana e Gerson tabularam as respostas de uma pesquisa, realizada via questionário, que foi respondido pelos usuários de um determinado serviço municipal. Sabendo que Carlos tabulou um terço do total de questionários, Ana tabulou três quintos do que sobrou e Gerson, os 460 questionários restantes, a diferença entre os números de questionários tabulados por Ana e Gerson foi:

a) 210.

b) 220.

c) 230.

d) 240.

e) 250.

43) Marcos e Regina têm, cada um, uma certa quantia em reais. Então, Regina deu a Marcos uma parte do que tinha, de modo que Marcos ficou com o triplo do que tinha e Regina ficou com metade do que tinha.

Inicialmente, Regina tinha

a) metade da quantia de Marcos.

b) a mesma quantia de Marcos.

c) o dobro da quantia de Marcos.

d) o triplo da quantia de Marcos.

e) o quádruplo da quantia de Marcos.

44) Um automóvel está a uma velocidade 2c em uma rodovia. Sabendo que 2c é metade da velocidade máxima permitida nessa rodovia, assinale a alternativa:

a) Como velocidade e tempo gasto no percurso são grandezas diretamente proporcionais, se a velocidade do automóvel for 4c, ele gastará o dobro do tempo no percurso.

b) Se a velocidade do carro for igual à velocidade máxima permitida na rodovia, o automóvel percorrerá o dobro da distância que seria capaz de percorrer na velocidade inicial.

c) Quando a velocidade do automóvel for igual a c, sua velocidade será igual à velocidade máxima da rodovia.

d) As grandezas velocidade e distância percorrida são inversamente proporcionais.

e) As grandezas velocidade e tempo gasto no percurso são diretamente proporcionais.

45) Uma fábrica mantém jornadas de trabalho de 6 horas para seus funcionários e, com essa jornada, a produção mensal é de 160 mil produtos. Quantas horas diárias serão necessárias para elevar a produção para 240 mil produtos?

a) 2 horas

b) 4 horas

c) 5 horas

d) 9 horas

e) 12 horas

46) Qual é a velocidade de um automóvel que gasta duas horas em um percurso, sabendo que gastaria 6 horas nesse mesmo percurso se estivesse a 30 km/h?

a) 90 km/h

b) 60 km/h

c) 30 km/h

d) 20 km/h

e) 10 km/h

47) Sabendo que a, b, c e 120 são diretamente proporcionais aos números 180, 120, 200 e 480, determine os números a, b e c.

48) Um prêmio de R$ 600.000,00 vai ser dividido entre os acertadores de um bingo. Observe a tabela e responda:

Número de acertadores	Prêmio
3	R$ 200.000,00
4	R$ 150.000,00

a) Qual a razão entre o número de acertadores do prêmio de R$200.000,00 para o prêmio de R$150.000,00?

b) Qual a razão entre os prêmios da tabela acima, considerando 3 acertadores e 4 acertadores?

c) O número de acertadores e os prêmios são grandezas diretamente ou inversamente proporcionais?

49) (Enem-2012) Nos shopping centers, costumam existir parques com vários brinquedos e jogos. Os usuários colocam créditos em um cartão, que são descontados por cada período de tempo de uso dos jogos.

Dependendo da pontuação da criança no jogo, ela recebe um certo número de tíquetes para trocar por produtos nas lojas dos parques.

Suponha que o período de uso de um brinquedo em certo shopping custa R$ 3,00 e que uma bicicleta custa 9 200 tíquetes.

Para uma criança que recebe 20 tíquetes por período de tempo que joga, o valor, em reais, gasto com créditos para obter a quantidade de tíquetes para trocar pela bicicleta é:

a) 153.

b) 460.

c) 1 218.

d) 1 380.

e) 3 066.

50) (ENEM-2012) Em 20 de fevereiro de 2011, ocorreu a grande erupção do vulcão Bulusan nas Filipinas. A sua localização geográfica no globo terrestre é dada pelo GPS (sigla em inglês para Sistema de Posicionamento Global) com longitude de 124° 3’ 0” a leste do Meridiano de Greenwich.

Dado: 1° equivale a 60’ e 1’ equivale a 60”.

A representação angular da localização do vulcão com relação a sua longitude da forma decimal é

a) 124,02°.

b) 124,05°.

c) 124,20°.

d) 124,30°.

e) 124,50°.

51) Uma barra de metal com 1,5 metros de altura foi fincado no solo, e a sombra que pôde ser observada, produzida por essa barra, possui 4,5 metros. Qual é a altura do poste ao lado da barra de metal, sabendo que a sombra desse poste, nesse mesmo horário, mede 30 metros?

a) 10 metros

b) 20 metros

c) 30 metros

d) 45 metros

e) 15 metros

52) Flávio tinha 12 periquitos .um pacote grande de ração era suficiente para alimentá-los por 30 dias .ontem ele ganhou mais 3 periquitos,e agora tem 15. O mesmo pacote de ração vai alimentá-los por quantos dias ?

a) 15 b) 18 c) 22 d) 24 e) 28

53) Uma doceira faz 300 docinhos em 90 minutos. Se ela dispuser de apenas 27 minutos,

quantos docinhos conseguirá fazer?

a) 60 b) 70 c) 75 d) 80 e) 90

Gabarito:

1) D

2) A/1/4 = B/1/6 = K = 2.250,00

Como temos um denominador com fração, esse é invertido e vem multiplicando no numerador:

A * 4 = K

B * 6 =K

Agora, vamos calcular a constante K:

K = 2.250 / ¼ + 1/6

K = 2.250 / 5/12

K = 2.250 * 12/5 = 5.400

Como ele quer o menos faltoso, teremos:

A * 4 = K

A * 4 = 5.400

A= 5.400/4

A = 1.350,00. Resposta Letra “c”.

3) C

4) D

5) C

6) Agora vamos separar algumas informações:

O X irá representar o funcionário com 28 anos.

O Y irá representar o funcionário com 32 anos.

O Z irá representar o funcionário com 36 anos.

K =       x + y + z      
         ¹/₂₈ + ¹/₃₂ + ¹/₃₆

Veja que: X + Y + Z é igual a 382. Então:

K =            382           
         ¹/₂₈ + ¹/₃₂ + ¹/₃₆

O MMC de 28, 32 e 36 é 2016. Sendo assim:

K =                    382                  
         ⁷²/₂₀₁₆ + ⁶³/₂₀₁₆ + ⁵⁶/₂₀₁₆


K =      382     
          ¹⁹¹/₂₀₁₆

K =   382 * 2016  
                    191

K = 4032

Nós queremos saber somente quantos documentos foram arquivados pelo funcionário mais velho. Dessa forma:

¹/₃₆ * 4032 = 112

A resposta é:

O funcionário mais velho arquivou 112 documentos. Alternativa “a”.

7) Como se passaram 10 anos, na data da sua morte seus sobrinhos tinham 22, 28 e 30 anos.

Como eles devem dividir 300.000 proporcionalmente as suas idades:

22x + 28x + 30x = 300000

80x = 300000

X = 300000/80 = 3750

O mais jovem irá receber 22x = 22.3750 = 82500,00. Alternativa “b”.

8) Como A é diretamente proporcional a B e inversamente proporcional a C², sendo k a constante de proporcionalidade, então k = A.C²/B.

Vamos calcular o valor de k, utilizando B=6, C=3 e A=1.

k = A.C²/B = 1.3²/6 = 9/6 = 3/2

Sabendo o valor de k, e utilizando A=3 e C=2, vamos calcular o valor de B:

k = A.C²/B

3/2 = 3.2²/B

B = 8. Alternativa “e”.

9) Temos que 2,00 m = 200 cm e 1,80 m = 180 cm. Como a altura e a sombra são grandezas diretamente proporcionais, temos a proporção:

180/60 = H/200, onde H é a altura do poste.

Vem que, 3 = H/200 , o que implica em: H = 3 × 200 = 600 cm. Mais tarde teremos a proporção:

180/x = 600/(200-50) = 600/150 = 4.

Então, 180 = 4x. Logo: x = 180/4 = 45 cm.

Este problema poderia ser resolvido de outra maneira.

Observe que a sombra do poste diminuiu de 50/200 = 1/4.

Então a sombra da pessoa também diminuiu de 1/4.

Segue que a sombra da pessoa diminuiu de 1/4 × 60 = 15.

Logo, a sombra da pessoa passou a medir: 60 - 15 = 45 cm. Alternativa “b”.

10) Se a bandeira apresenta 2 metros de comprimento, sendo as medidas proporcionais a 10 e 7, temos que estabelecer uma proporção, ou seja:

 

11)

5100/11.900 = 3/x

x = 7 horas.

12) 1º- 1km= 1000m

Área= 12km² Sendo assim: 12km².1000.1000= 12000000m²

Profundidade= 10m

Volume do lago é dado pelo produto da área da sua superfície por sua profundidade média, ou seja:

12000000m².10m= 120000000m³

Se cada m³ tem 5g da substância, logo:

120000000.5 = 600000000 = 6.10^{8}

Resposta correta alternativa “a”.

13)

ALUNOS 20 .... 50 (30+20)

DIAS 10 .... 20

HORAS/DIA 3 .... 4

ALIMENTO 120kg (12x10) .... x

120/x = 20/50 * 10/20 * 3/4

120/x = 600/4000 simplificando: 3/20

120/x = 3/20

3x = 120*20

x = 800

800kg foi o total arrecadado em 20 dias com 50 alunos

Somando com os outros 120kg arrecadado em 10 dias com 20 alunos dá um total de 920kg (em 30 dias). Alternativa “a”.

14)

5L em 12s

xL em 1s

x=5/12ls

5L em 18s

xL em 1s

x=5/18ls

Em 1 segundo.

5/12+5/18= 25/36 L/s

25/36----1s

1000----x

25x=1000 x=36000/25 x=1440s

36

1min----60s

x min----1440s

60x=1440

x=1440/60

x=24 min. Alternativa “b”.

15) C

16) Para facilitar nossos cálculos, vamos identificar Ana por A, Thiago por T e Jorge por J. Sabendo que a divisão será diretamente proporcional à idade de cada um, temos a seguinte razão:

A +T +J = A + T + J = 1500000 = 25000
17 20 23 17+20+23 60

Agora que já identificamos a razão dessa divisão proporcional, vamos igualá-la ao quociente do valor recebido por cada irmão e sua idade.

Para Ana, temos:

A = 25000
17
A = 25000 . 17
A = 425000

Para Thiago:

T = 25000
20
T = 25000 . 20
T = 500000

E para Jorge:

J= 25000
23
A = 25000 . 23
A = 575000

Portanto, Ana receberá R$ 425.000,00 de herança de seu pai, Thiago receberá R$ 500.000,00 e Jorge, R$ 575.000,00.

17) Vamos considerar que C é o volume total do tanque, C1 é o volume do tanque preenchido pela primeira torneira e C2 é o volume preenchido pela segunda. Vejamos a capacidade do tanque para cada torneira em função da capacidade ou volume total:

1ª torneira:

Tempo (minutos)	Capacidade
12	C
x	C1

12.C1= C.x
C1= C.x
12

2ª torneira:

Tempo (minutos)	Capacidade
18	C
x + 3	C2

18.C2 = C.(x + 3)
C2 = C.(x + 3)
18

Sabemos que a capacidade de cada torneira foi suficiente para encher todo o volume do tanque, isto é, C1+ C2 = C. Sendo assim, temos:

C1+ C2= C

C.x+ C.(x + 3)= C
12 18

3.C.x + 2.C.(x + 3) = C
36

C.[3.x + 2.(x + 3)] = C
36

3.x + 2.(x + 3)= 1
36

3.x + 2.x + 6= 1
36

5.x + 6 = 1
36

5.x + 6 = 1.36
5.x = 36 – 6

x = 30
5

x = 6

Mas se a primeira torneira gastou x minutos e a segunda, x + 3, no total, elas gastaram juntas x + x + 3. Se x = 6, então o tanque foi totalmente preenchido em 15 minutos (6 + 6 + 3 = 15).

18) A quantidade de produtos A, B e C esgotada refere-se a grandezas diretamente proporcionais àquelas que serão entregues. Vejamos a razão estalecida entre essas grandezas:

A + B + C = A + B + C = 350 = 5
20 35 15 20+35+15 70

Tendo conhecimento da razão dessa divisão proporcional, vamos descobrir quanto será entregue de cada produto:

A = 5 20      A = 20 . 5 A = 100

B = 5 35      B = 35 . 5 B = 175

C = 5 15       C = 15 . 5 C = 75

Portanto, o entregador levará para o supermercado 100 pacotes do produto A, 175 pacotes de B e 75 pacotes de C.

19) A disposição dos votos deve ser feita de forma diretamente proporcional ao identificado na pesquisa. A fim de facilitar nossos cálculos, chamaremos o PFL de A, o PMDB de B, o PT de C e o PDS de D. Vamos identificar a razão dessa proporção:

A + B + C + D = A + B + C + D = 6539000 = 503000
5 4 3 1 5 + 4 + 3 + 1 13

Sabendo que a razão da divisão proporcional é 503.000, podemos identificar a quantidade de votos por partido:

Partido A:

A = 503000
5
A = 503000 . 5
A = 2515000

Partido B:

B = 503000
4
B = 503000 . 4
B = 2012000

Partido C:

C= 503000
3
C = 503000 . 3
C = 1509000

Partido D:

D = 503000
1
D = 503000 . 1
D = 503000

Portanto, a quantidade de votos que cada um dos partidos deve receber é 2.515.000 para o partido A, 2.012.000 para o partido B, 1.509.000 para o partido C e 503.000 para o partido D. Com isso, podemos concluir que a alternativa correta é a letra b.

20)

Seja x o total de alunos matriculados e y o total de alunos desistentes, temos:

x / y = 9 / 7

x - y = 140

(x - y) / y = (9 - 7) / 7

140 / y = 2 / 7

2y = 140 . 7

2y = 980

y = 980 / 2

y = 490

x - y = 140

x - 490 = 140

x = 140 + 490

x = 630. Alternativa “e”.

21) 

Vejamos...
(3, x, 14...) serem diretamente proporcionais a (6, 8, y, …)  significa que a razão entre os termos sequenciais é uma constante:

Sequencia 1: (3, x, 14...)
Termos:
termo 1' = 3
termo 2' = x
termo 3' = 14

Sequencia 2:  (6, 8, y, …) 
Termos:
termo 1'' = 6
termo 2'' = 8
termo 3'' = y

Razão entre termos sequenciais de mesma posição:

termo 1'            termo 2'              termo 3'
________ = ___________ = ___________ =  k(constante)
termo 1''            termo2''              termo 3''
 

       3                      x                     14
________ = ___________ = ___________ =  k(constante)
       6                      8                      y

Pode-se dizer que:

3
____  = k
6

*Simplificando por 2:

1
___  =  k
2


Logo:


       3                      x                     14                       1
________ = ___________ = ___________ = _________
       6                      8                      y                        2


Logo:

     x
______  =  k
     8 


    x                    1
______  =  ________
     8                   2

*Multiplicando em cruz:
2x = 8
x = 8/2
x = 4

O valor de x é 4.


    14
______  =  k
     y 


    14                 1
______  =  ________
     y                   2

*Multiplicando em cruz:
y = 14 . 2
y = 28

O valor de y é 28.


Prova real:

       3                      x                     14                        1
________ = ___________ = ___________ = _________
       6                      8                      y                        2

       3                      4                     14                        1
________ = ___________ = ___________ = _________
       6                      8                     28                        2

       1                      1                      1                        1
________ = ___________ = ___________ = _________
       2                      2                      2                        2



Quer-se a soma de x (valor 4) e y (valor 28):
x + y =
4 + 28 =
32

O valor da soma de (x + y) corresponde a 32. Alternativa "e".

22) C

23)

A + B + C = A + B + C = 70 = k k = 70/10 = 7
2 3 5 2 + 3 + 5

A/2 = k

A/2 = 7 A = 7 * 2 = 14

B/3 = K

B/3 = 7 B = 7 * 3 = 21

C/5 = K

C/5 = 7 C = 7 * 5 = 35

24) A

25) Temos os seguintes dados:

Total de processos = 382, que deverá ser dividido em quantidades inversamente proporcionais às idades dos três técnicos judiciários, que têm, respectivamente, 28, 32 e 36 anos.

Inicialmente, vamos dividir 382 pelos inversos de 28, 32 e 36, já que se trata de uma divisão inversamente proporcional. Assim:

382/(1/28+1/32+1/36) -------mmc do denominador = 2.016.

382/[(73+63+56)/2.016]

382/(191/2.016). Multiplicando o numerador pelo inverso do denominador, vem:

(382/1)*(2.016/191) = 382*2.016/1*191

770.112/191 = 4.032

Pronto, encontramos o quociente de proporcionalidade que é 4.032. Agora, vamos multiplicar por cada um dos inversos das idades:

O mais novo ---->(1/28)* 4.032 = 4.032/28 = 144

O do meio ------->(1/32)*4.032 = 4.032/32 = 126

O mais velho---->(1/36)*4.032 = 4.032/36 = 112

Veja que a soma 144 + 126 + 112 = 382

Então, o mais velho arquivou 112 processos. Alternativa “a”.

26) C

27)

Sejam a, b ,c d as partes recebidas
Pelo enunciado:
a/3=b/6=c/7=d/9
Então:
(a+b+c+d)/(3+6+7+9)=a/3=b/6=c/7=d/9 .... mas (a+b+c+d)/= 8.280 e (3+6+7+9)=25
Dai:
(8.280)/(25)=a/3=b/6=c/7=d/9
ou
331,2=a/3=b/6=c/7=d/9
O que menos vendeu
331,2=a/3 ...... a= 3.331,2= 993,6. Alternativa “a”.

28)

128/32 = 4

Então,

x = 40 / 4 = 10

y = 72 / 4 = 18.

29) Temos aqui três grandezas: a capacidade do reservatório, a quantidade de ralos e o tempo em horas. Vamos relacionar essas grandezas em uma tabela:

Agora verificaremos se as grandezas são direta ou inversamente proporcionais. Novamente colocaremos setas na tabela, sempre apontando para os maiores valores.

Temos duas grandezas diretamente proporcionais (capacidade e ralos) e uma inversamente proporcional (tempo). Sempre que houver valores inversamente proporcionais, eles deverão ser “invertidos”. Para montar a equação, colocaremos os valores da coluna “ralos” iguais ao produto da coluna “capacidade” pelo inverso da coluna “tempo”, isto é:

ralos = capacidade · “inverso de tempo”

6/x= 900/500. 4/6

Simplificando a fração 900/500 por 100, e a fração 4/6 por 2, teremos:

6/x= 9/5. 2/3

6/x= 18/15

Faremos agora a multiplicação cruzada:

18 · x = 6 · 15
18 · x = 90
x = 90/18
x = 5 ralos

Portanto, o novo reservatório deverá ter cinco ralos, e a alternativa correta é a letra c.

30) 0.4;3.2;6.4=4/10,32/10,64/10=2/5,16/5,32/5
x/5/2=y/5/16=z/5/32=k
x/5/2=k→x.2/5=k→x=5k/2
y/5/16=k→y.16/5=k→y=5k/16
z/5/32=k→y.32/5=k→y=5k/32
5k/2+5k/16+5k/32=380
k(5/2+5/16+5/32)=380
k(80+10+5/32)=380
95k/32=380→k=380.32/95→k=128
x=5k/2→x=5.128/2→x=320
y=5k/16→y=5.128/16→y=40
z=5k/32→z=5.128/32→z=20

31)

x/60000=y/75000=z/45000=k
x/60000=k→x=60000k
y/75000=k→y=75000k
z/45000=k→z=45000k
60000k+75000k+45000k=30000→180000k=30000→k=30000/180000→k=1/6
x=60000k→x=60000.1/6→x=60000/6→x=10000
y=75000k→y=75000.1/6→y=75000/6→y=12500
z=45000k→z=45000.1/6→y=45000/6→z=7500

32)

x/2/1/24=y/4/1/32=z/5/1/54=k
x/2/1/24=k→(x/2).24=k→24x/2=k→x=k/12
y/4/1/32=k→(y/4).32=k→32y/4=k→y=k/8
z/5/1/45=k→(z/5).45=k→45z/5=k→z=k/9
k/12+k/8+k/9=46000
k(1/12+1/8+1/9)=460000
k(6+9+8/72)=460000→23k/72=460000→k=460000.72/23→k=1440000
x=k/12→x=1440000/12→x=160000
y=k/8→y=1440000/8→y=180000
z=k/9→z=1440000/9→z=160000

33)

X/6 + x/8 + x/20 = 102
20x + 15X + 6x / 120 = 102(obs: esse numero 120 foi dividido porque o próprio é divisível por todos)
41x = 102*120
x=102*120 / 41
x=298

298/6 + 298/8 + 298/20

50 + 37 + 15 = 102

34)

x/3/1/5=y/6/1/4=z/7/1/2=k
x/3/1/5=k→(x/3).5=k→5x/3=k→x=3k/5
y/6/1/4=k→(y/6).4=k→4y/6=k→y=6k/4
z/7/1/2=k→(z/7).2=k→2z/7=k→z=7k/2
2k/5+6k/4+7k/2=560
k(2/5+6/4+7/2)=560
k(12+30+70/20)=560
112k/20=560→k=560.20/112→k=100
x=3k/5→x=3.100/5→x=60
y=6k/4→y=6.100/4→y=150
z=7k/2→z=7.100/2→z=350

35) Conforme o enunciado deduzimos que:

• p1 =K .2
• p2 = K . 3
• p3 = K . 5
• p1 + p2 + p3 = 1200

Para encontrarmos o valor da constante K devemos substituir o valor de p1, p2 e p3 na última expressão:

Portanto:

• p1 = 120 . 2 = 240
• p2 = 120 . 3 = 360
• p3 = 120 . 5 = 600

Quem trabalhou 2 dias irá receber R$ 240,00. R$ 360,00 será destinado ao que trabalhou 3 dias e ao terceiro caberá um pagamento de R$ 600,00.

36) Como sabemos, a partir do enunciado podemos montar as seguintes igualdades:

• p1=K . 9/8
• p2 =K . 8/3
• p1+p2= 546

Para encontrarmos o valor da constante K devemos substituir o valor de p1 e p2 na última expressão:

Portanto:

• p1 = 144 . 9/8 = 162
• p2 = 144 . 8/3 = 384

O primeiro filho ganhou 162 bolas de gude e o segundo ganhou 384. Alternativa “a”.

37) Do enunciado tiramos que:

• P= K . 1/5
• J = K . 1/7
• M = K . 1/11
• P + J + M = 3340

Para encontrarmos o valor da constante K devemos substituir o valor de P, J e M na última expressão:

Portanto:

• P = 7700 . 1/5 = 1540
• J = 7700 . 1/7 = 1100
• M = 7700 . 1/11 = 700

A premiação será respectivamente R$ 1.540,00, R$ 1.100,00 e R$ 700,00. Marcelo recebeu R$ 700,00, ou seja, mais que 690. Resposta CERTA.

38) Do enunciado tiramos que:

• p1 = K . 1/14
• p = K . 1/27
• p3 = K . 1/15
• p1 + p2 + p3 = 662

Para encontrarmos o valor da constante K devemos substituir o valor de p1, p2 e p3 na última expressão:

Portanto:

• p1 = 3780 . 1/14 = 270
• p2 = 3780 . 1/27 = 140
• p3 = 3780 . 1/15 = 252

As parcelas procuradas são respectivamente 270, 140 e 252.

39) SE 200ML-----------80 REAIS

300ML----------- X

É DIRETAMENTE PROPORCIONAL

200 X= 24000

X=24000/200

X=120(REAIS). Alternativa “d”.

40)

 J= K.20.18 = 360K/6 = 6K -----> ENTRE OS 3 NÚMEROS, TODOS SÃO DIVIDIDOS POR 6 POR ISSO!

P= 30.K.18 = 540K/6 = 9K

S= 30.20.K = 600K/6 = 10K

6K+9K+10K = 5.000.000

25K = 5.000.000

K = 5.000.000/25

K = 200.000

J = 6.200.000 = 1.200.000

P = 9.200.000 = 1.800.000

S = 10.200.000 = 2.000.000

Alternativa "d".

41)

x/30 y/28 z/22

30+28+22=80

100.000/80=1.250

1.250*22= 27.500. Alternativa “c”.

42)

Questionário = x

Carlos = 1/3.X

Ana= 3/5 X . 2/3 = 2/5X

Gerson = 460

x= 1/3x + 2/5x + 460

x= 1725

Carlos= 575 , Ana= 690 , Gerson = 460

43) Em termos técnicos, sem atribuição de valores arbitrários, podemos enquadrar a questão no seguinte método de sistemas de equações:

R - X = H/2

H/2 + M= 3M

Sendo que, na primeira equação, subtraiu-se um valor X do que Regina tinha, ficando ela com metade. Com isso, já se pode concluir que, se ela ficou com metade do que tinha antes, então o valor subtraído (X) é a metade do que tinha. Daí, na segunda equação, podemos efetuar H em função de M, cujo resultado, será: H = 4M. Alternativa “e”.

44) Alternativa “b”.

a) Incorreta!

Velocidade do automóvel e tempo gasto no percurso são grandezas inversamente proporcionais.

b) Correta!

Dobrando a velocidade, dobramos também a distância que o automóvel é capaz de percorrer, pois essas grandezas são diretamente proporcionais.

c) Incorreta!

Quando a velocidade do automóvel for igual a 4c, ela será igual à velocidade da rodovia.

d) Incorreta!

Essas grandezas são diretamente proporcionais.

e) Incorreta!

Essas grandezas são inversamente proporcionais.

45) As grandezas são diretamente proporcionais, por isso, não é necessário inverter as razões para aplicar a propriedade fundamental das proporções. A proporção é:

160000 = 6
240000 x

160000x = 6·240000

160000x = 1440000
x = 1440000
160000

x = 9

Serão necessárias 9 horas. Alternativa “d”.

46) Para resolver esse problema, podemos usar a regra de três. Para tanto, é necessário construir uma proporção entre a velocidade do automóvel e o tempo gasto por ele no percurso. Essa proporção é:

2 = x
6 30

Observe que, aumentando a velocidade, o tempo gasto no percurso diminui, portanto, essas grandezas são inversamente proporcionais. Para encontrar a velocidade do automóvel, precisamos inverter uma das razões da proporção acima.

2 = 30
6 x

Aplicando a propriedade fundamental das proporções, teremos:

2x = 6·30

x = 180
2

x = 90 km/h. Alternativa “a”.

47) 480/120 = 4

Então,

a = 180/4 = 45

b = 120/4 = 30

c = 200/4 = 50

48) a) 3/4

b) 4/3

c) Inversamente proporcionais.

49) Utilize regra de três para descobrir quantos períodos de tempo a criança precisa jogar para conseguir 9200 tíquetes. Para tanto, lembre-se de que um período de tempo “está para” 20 tíquetes, assim como x períodos de tempo “estão para” 9200 tíquetes. Note que as grandezas são diretamente proporcionais, portanto:

20 = 1
9200 x

20x = 9200

x = 9200
20

x = 460

Sabendo que serão necessários 460 períodos de tempo e que cada um deles custa R$ 3,00, teremos:

460·3 = 1380

Serão necessários R$ 1380,00 para conseguir a bicicleta. Alternativa “d”.

50) A representação inteira do ângulo é 124. A parte decimal é representada por 3’0”, ou seja, 3’. Sabendo que 1° = 60’, teremos:

1° = 60’
x ° 3’

As grandezas são diretamente proporcionais, por isso, basta aplicar a propriedade fundamental das proporções:

60x = 3

x = 3
60

x = 0,05°

Portanto, 124° 3’ 0” = 124,05°. Alternativa “b”.

51) Quanto maior a altura da barra, maior será sua sobra, portanto, essas grandezas são diretamente proporcionais. Assim, teremos:

1,5 = 4,5
x 30

4,5x = 1,5·30

4,5x = 45

x = 45
4,5

x = 10

O poste tem 10 metros de altura. Alternativa “a”.

52)

Número de periquitos: 12(antes), 15(atualmente)

Tempo em dias: 30(antes), X(atualmente)

12/15 = x/30

15.x = 12.30

15.x = 360

X= 360/15

X = 24. Alternativa “d”.

53)

300 = x
90 27

90x = 8100 → x = 90 docinhos. Alternativa “e”.